95. Unique Binary Search Trees II

题目描述:

Given an integer n, generate all structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n.

For example, Given n = 3, your program should return all 5 unique BST's shown below.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

题目翻译

对给定的数字 n,生成所有储存了数字 1 至 n 的结构不同的 BST's (二叉查找树)。

举个栗子 ⊙o⊙,

假如给定的 n = 3,你的程序应该返回如下图所示的5个不同的二叉查找树。


     1         3     3      2      1
      \       /     /      / \      \
       3     2     1      1   3      2
      /     /       \                 \
     2     1         2                 3

解题方案

标签: Tree

思路:

  • 这道题是 Unique Binary Search Trees 的升级版,解决方法同样是动态规划。在做 Unique Binary Search Trees 这道题时,我们用一个数组保存 1 至 n-1 对应的不同二叉树的个数 X1、X2、X3、... Xn-1,则 n 对应的不同二叉树个数 Xn = Xn-1 + X1*Xn-2 + X2*Xn-3 + X3*Xn-4 + ... + Xn-2*X1 + Xn-1

      通过这个递推式,我们可以从 N = 1 开始递推,最后得到 N = n 时不同二叉查找树的个数。

  • 与上述思路类似,我们可以通过深度优先搜索(递归)解决这道题。因为二叉查找树满足父节点的值大于左子节点的值,小于右子节点的值,所以我们可以:

    • (1) 从 N=1 开始构建二叉查找树,则它的左子树节点数为 0,右子树节点数为 n-1;
    • (2) N=2 时,左子树节点数为 1,右子树节点数为 n-2;
    • ……
    • (n) N=n 时,左子树节点数为 n-1,右子树节点数 0。

    而在第(1)步中,右子树继续执行上述循环,子树的子树又执行这个循环,最终,我们可以将子树节点数减少到 1,而一个节点只有一种排列方式,所以此时可以毫不犹豫地将结果返回给上一级。然后包含有两个节点的二叉树排列方式又被返回给上一级。……

依此类推,我们最后可以得到所有不同结构的二叉查找树。

代码:

class Solution {
public:
    vector<TreeNode *> generateTrees(int n) {
        return GenerateSubTree(1, n + 1);
    }

    vector<TreeNode*> GenerateSubTree(int l, int r) {
        vector<TreeNode *> subTree;

        if (l >= r) {
            subTree.push_back(NULL);
            return subTree;
        }

        if (l == r - 1) {
            subTree.push_back(new TreeNode(l));
            return subTree;
        }


        for (int i = l; i < r; ++i) {
            vector<TreeNode *> leftSubTree = GenerateSubTree(l, i);
            vector<TreeNode *> rightSubTree = GenerateSubTree(i + 1, r);

            for (int m = 0; m < leftSubTree.size(); ++m) {
                for (int n = 0; n < rightSubTree.size(); ++n) {
                    TreeNode *root = new TreeNode(i);
                    root->left = leftSubTree[m];
                    root->right = rightSubTree[n];
                    subTree.push_back(root);
                }
            }
        }

        return subTree;
    }
};

参考资料

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